LIMIT DAN TURUNAN

LIMIT PENGERTIAN LIMIT Limit suatu fungsi f(x ) untuk x mendekati suatu bilangan a adalah nilai pendekatan fungsi f ( x ) bilamana x mendekati a. Misalkan, lim┬(x→a)⁡〖f(x) =L〗 ini berarti bahwa nilai fungsi f ( x) akan mendekati L, jika x mendekati a. Contoh 1. Tentukan lim┬(x→1)⁡〖(〖4x〗^2+1〗) Jawab. Untuk x mendekati 1 maka (〖4x〗^2+1 ) akan mendekati 4 .1^2+ 1=5.sehinnga lim┬(x→1)⁡〖(〖4x〗^2+1)〗 =5 Contoh 2. Tentukan lim┬(x→1)⁡〖(x^2+2x-3)/(x-1)〗 Jawab. Perhatikan bahwa untuk x = 1 maka (〖�〱〗^2+2x-3)/(x-1) tidak terdefinisi. Tetapi bentuk (x^2+2x-3)/(x-1) dapat disederhanakan sehingga bentuknya terdefinisi untuk x = 1, yaitu lim┬(x→1)⁡〖(x^2+2x-3)/(x-1)〗=lim┬(x→1)⁡〖((x-1) (x+3))/((x-1))〗 = lim┬(x→1)⁡〖(x+3)=4〗. BENTUK BENTUK TAK TERDEFINISI YANG DAPAT DISEDERHANAKAN Penggantian nilai x oleh a dalam lim┬(x→a)⁡〖f(x) 〗 ada kalanya membuat f (x) tida terdefinisi atau f (a menghasilkan bentuk 0/0,∞/∞ atau . jika demikian halnya, maka bentuk dari f(x harus diubah atau disederhanakan agar nilai limit dapat ditenukan. Berikut beberapa bentuk tak terdefinisi yang dapat disederhanakan : Bentuk .0/0 Bentuk ini kemungkinan timbul dalamlim┬(x→a)⁡〖(g(x))/(h(x))〗 Misal g(x)=(x-a) k(x) dan h(x)=(x-a )s(x ) maka:lim┬(x→a)⁡〖(g(x))/(h(x))〗=lim┬(x→a)⁡〖((x-a )k(x))/((x-a) s (x))〗=lim┬(x→a)⁡〖(k(x))/(s(x))〗 Bentuk ini juga bias diselesaikan dengan aturan L’ Hospital: Missal, g^' (x ) adalah turunan dari g (x ) dan f^' (x ) adalah turunan dari f (x ) maka lim┬(x→�0)⁡〖(g(x))/(h(x))〗=lim┬(x→a)⁡〖(f^' (x))/(g^' (x))〗 Contoh. Tentukan nilai dari: lim┬(x→1)⁡〖(x^2-1)/(x-1)〗 lim┬(x→16)⁡〖(√x-4)/(x-16)〗 Jawab. lim┬(x→1)⁡〖(x^2-1)/(x-1)〗=lim┬(x→1)⁡〖((x-1) (x+1))/((x-1))〗=lim┬(x→1)⁡〖(x+1)=1+1=2〗 lim┬(x→16)⁡〖(√x-4)/(x-16)〗=lim┬(x→16)⁡〖(√x-4)/((√x-4)(√x+4))〗=lim┬(x→16)⁡〖1/((√x+4))〗=1/(√16+4)=1/8 Bentuk ∞/∞ Bentuk ini timbul dalam lim┬(x→a)⁡〖f(x 〗) dengan f( x) merupakan pecahan polinom,yaitu: f(x)=(〖ax〗^m+〖bx〗^(m-1)+⋯+c)/(〖px〗^n+〖qx〗^(n-1)+⋯+r) Penyelsaian limit dalam bentuk diatas dapat diperoleh dengan membagi pembilang dan penyebut dalam f ( x) dengan x berpangkat tertinggi. Contoh. Tentukan lim┬(x→∞)⁡〖(〖4x〗^3+2x+1)/(〖5x〗^3-〖8x〗^2+6)〗 Jawab. Dapat dilihat x yang berpangkat tertinggi antara pembilang dan penyebut dalam persamaan adalah x^3. Dengan demikian pembilang dan penyebut dalam limit dibagi dengan x^3, yaitu lim┬(x→∞)⁡〖(〖4x〗^3+2x+1)/(〖5x〗^3-〖8x〗^2+6)〗=lim┬(x→∞)⁡〖(〖4x〗^3/x^3 +2x/x^3 +1/x^3 )/(〖5x〗^3/〖�挲〗^3 -〖8x〗^2/x^3 +6/x^3 )〗 =lim┬(x→∞)⁡〖(4+2/x^2 +1/x^3 )/(5-8/x+6/x^3 )〗=(4+2/∞+1/∞)/(5-8/∞+6/∞) =(4+0+)/(5+ +)=4/5 RUMUSAN: 〖lim〗┬(X→∞)⁡= (〖ax〗^m+〖bx〗^(m-1)+⋯+c)/(〖px〗^n+〖qx〗^(n-1)+⋯+r)=�ᴮ Jika m < n maka L = 0 Jika m = n maka L = a/p Jika m > n maka L = ∞ Bentuk ( ∞ - ∞ ) Bentuk ( ∞ - ∞ ) kemungkinan timbul dalam lim┬(x→∞)⁡〖[f(x) –g(x〗)]. Penyelsaiannya dapat diperoleh dengan mengubah atau menyederhanakan bentuk [f(x)–g(x)]. LIMIT TRIGONOMETRI Limit trigonometri merupakan limit yang mengandung bentuk trigonometri, antara lain sinus, cosines dan tangent. Satu rumusan yag paling dasar dalam limit trigonoetri adalah lim┬(x→)⁡〖sin⁡x/x〗=1. Dari rumusan ini dapat diturunkan sejumlah rumus dalam imit trigonometri,diantaranya : lim┬(x→)⁡〖sin⁡〖a�晦〗/bx〗=lim┬(x→)⁡〖ax/sin⁡〖b�㐳〗 〗=a/b lim┬(x→)⁡〖tan⁡ax/bx〗=lim┬(x→)⁡〖ax/tan⁡bx 〗=a/b lim┬(x→)⁡〖sin⁡ax/sin⁡bx 〗=lim┬(x→)⁡〖tan⁡ax/tan⁡bx 〗=a/b lim┬(x→)⁡〖sin⁡ax/tan⁡bx 〗=lim┬(x→)⁡〖tan⁡ax/sin⁡bx 〗=a/b lim┬(x→)⁡〖sin⁡〖ax+tan⁡bx 〗/(cx-sin⁡dx )〗=(a+b)/(c-d) Contoh. Tenukan nilai dari: lim┬(x→)⁡〖sin⁡3x/4x〗 lim┬(x→)⁡〖sin⁡2x/tan⁡6x 〗 lim┬(x→)⁡〖sin⁡〖3x+sin⁡2x 〗/(5x-tan⁡4x )〗 Jawab. lim┬(x→)⁡〖sin⁡3x/(4�܈)〗=3/4 lim┬(x→)⁡〖sin⁡2x/tan⁡6x 〗=2/6 lim┬(x→)⁡〖sin⁡〖3x+sin⁡2x 〗/(5x-tan⁡4x )〗=(3+2)/(5-4)=5 TURUNAN ( DIFERENSIAL) PENGERTIAN TURUNAN FUNGSI Definisi turunan : Fungsi f : x → y atau y = f (x) mempunyai turunan yang dinotasikan y’ = f’(x) atau dy/dx= (�づf(x))/dxdan di definisikan: y’ = f’(x) = lim f(x + h) – f(x) atau dy = lim f (x +∆x) – f(x) h→0 h dx h→0 h Notasi kedua ini disebut notasi Leibniz. Contoh. Tentukan turunan dari f(x) = 4x – 3 Jawab f(x) = 4x – 3 f( x + h) = 4(x + h) – 3 = 4x + 4h -3 Sehingga: f’(x) = = = = = = 4 Contoh. Tentukan turunan dari f(x) = 3x2 Jawab : f(x) = 3x2 f(x + h) = 3 (x + h)2 = 3 (x2 + 2xh + h2) = 3x2 + 6xh + 3h2 Sehingga : f’(x) = = = = h = 6x+ 3.0 = 6x B. RUMUS-RUMUS TURUNAN 1. Turunan f(x) = axn adalah f’(x) = anxn-1 atau = anxn-1 2. Untuk u dan v suatu fungsi,c bilangan Real dan n bilangan Rasional berlaku y = ± v → y’ = v’ ± u’ y = c.u → y’ = c.u’ y = u.v → y’ = u’ v + u.v’ y = un → y’ = n. un-1.u’ Contoh: Jika f(x) = 3x2 + 4 maka nilai f1(x) yang mungkin adalah …. Pembahasan f(x) = 3x2 + 4 f1(x = 3.2x = 6x Nilai turunan pertama dari: f(x) = 2(x)2 + 12x2 – 8x + 4 adalah … Pembahasan f(x) = 2x3 + 12x2 – 8x + 4 f1(x = 2.3x2 + 12.2x – 8 = 6x2 + 24x -8 Turunan ke- 1 dari f(x) = (3x-2)(4x+1) adalah … Pembahasan f(x) = (3x-2)(4x+1) f(x) = 12x2 + 3x – 8x – 2 f(x) = 12x2 – 5x – 2 f1(x) = 24x – 5 Jika f(x) = (2x – 1)3 maka nilai f1(x) adalah … Pembahasan f(x) = (2x – 1)3 f1(x) = 3(2x – 1)2 (2) f1(x) = 6(2x – 1)2 f1(x) = 6(2x – 1)(2x – 1) f1(x) = 6(4x2 – 4x+1) f1(x) = 24x2 – 24x + 6 Turunan pertama dari f(x) = (5x2 – 1)2 adalah … Pembahasan f(x) = (5x2 – 1)3 f1(x) = 2(5x2 – 1) (10x) f1(x) = 20x (5x2 – 1) f1(x) = 100x3 – 20x Turunan pertama dari f(x) = (3x2 – 6x) (x + 2) adalah … Pembahasan f(x) = (3x2 – 6x) (x + 2) Cara 1: Misal : U = 3x2 – 6x U1 = 6x – 6 V = x + 2 V1 = 1 Sehingga: f’(x) = U’ V + U V’ f1(x) = (6x – 6)(x+2) + (3x2+6x).1 f1(x) = 6x2 + 12x – 6x – 12 + 3x2 – 6x f1(x) = 9x2 – 12 Cara 2: f(x) = (3x2 – 6x) (x + 2) f1(x) = 3x-3+6x2 – 6x3 – 12x f1(x) = 9x2+12x –12x – 12 f1(x) = 9x2 – 12 C. TURUNAN FUNGSI TRIGONOMETRI Dengan menggunakan definisi turunan kita bisa menentukan turunan dari : f(x) = sin x Yaitu : f(x) = sin x f(x + h) = sin (x + h) f’(x) = = = = = 2 cos = cos x f(x) = cos x Yaitu : f(x) = cos x f(x + h) = cos ( x + h ) f’(x) = = = = = - 2 sin = - sin x Jadi diperoleh rumus turunan fungsi trigonometri : a. f(x) = sin x → f’ (x) = cos x f(x) = cos x → f’ (x) = - sin x a. f(x) = sin (ax + b) → f’(x) = a cos (ax + b ) b. f(x) = cos (ax + b) → f’(x) = - a sin (ax + b ) dan jika u suatu fungsi maka: a. f(x) = sin u → f’(x) = u’ cos u b. f(x) = cos u → f’(x) = - u’ sin u Contoh : Tentuka turunan dari: f(x) = 3 sin x + 2 cos x f(x) = sin (5x – 2) f(x) = tan x jawab: a. f(x) = 3 sin x + 2 cos x f’(x) = 3 cos x - 2 sin x b. f(x) = sin (5x – 2) f’ (x) = 5 cos (5x – 2 ) c. f(x) = tan x = missal : u = sin x → u’ = cos x v = cos x → v’ = - sin x f’ (x) = = = = = sec2 x PENGGUNAAN TURUNAN GARIS SINGGUNG PADA KURVA Gradien garis singgung Apabila garis ABdiputar pada titik A maka titik B akan bergerak mendekati titik A (h→0) maka tali busur ABmenjadi garis singgung (g) pada kurva y = f(x) di titik A (a,f(a))dengan gradient Sehingga persamaan garis singgung pada kurva y = f(x) di titik A (a,f(a)) atau A (x1,y1) adalah y – y1 = m (x – x1) Contoh : Diketahui kurva y = x2 – 3x + 4 dan titik A (3,4) Tentukan gradient garis singgung di titik A. Tentukan persamaan garis singgung di titik A. Jawab: y = x2 – 3x + 4 y’ = 2x – 3 Gradien di titik A (3,4) m = y’x=3 = 2.3 – 3 = 6 – 3 = 3 b. Persamaan garis singgung di titik A (3,4) y – y1 = m (x – x1) y – 4 = 3 (x – 3 ) y – 4 = 3x – 9 y = 3x – 5 FUNGSI NAIK DAN FUNGSI TURUN 1. Fungsi f(x) disebut fungsi naik pada interval a ≤ x ≤ b, jika untuk setiap x1 dan x2 dalam interval a ≤ x ≤ b berlaku : x2 > x1 f(x2) > f(x1) (gb. 1) Fungsi f(x) disebut fungsi turun pada interval a ≤ x ≤ b, jika untuk setiap x1 dan x2 dalam interval a ≤ x ≤ b berlaku : x2 > x1 f(x2) < f(x1) (gb. 2) Fungsi f disebut fungsi naik pada titik dengan absis a, jika f’ (a) > 0 Fungsi f disebut fungsi turun pada titik dengan absis a, jika f’ (a) < 0 Contoh Tentukan pada interval mana fungsi f(x) = x3 + 9x2 + 15x + 4 merupakan : Fungsi naik Fungsi turun Jawab: f(x) = x3 + 9x2 + 15x + 4 f’(x) = 3x2 + 18x + 15 Syarat fungsi naik f’(x) > 0 3x2 + 18x + 15 > 0 x2 + 6x + 5 > 0 (x+1) (x+5) > 0 Harga batas x = -1 , x = -5 Jadi fungsi naik pada interval x < 5 atau x > -1 NILAI STASIONER Jenis – jenis nilai stasioner 1. Nilai stasioner di titik A. Pada : x < a diperoleh f’(x) > a x = a diperoleh f’(x) = a x > a diperoleh f’(x) < a Fungsi yang mempunyai sifat demikian dikatakan fungsi f(x) mempunyai nilai stasioner maksimum f(a) pada x = a dan titik (a,f(a)) disebut titik balik maksimum. 2. Nilai stasioner di titik B dan D. a. Pada : x < b diperoleh f’(x) < 0 x = b diperoleh f’(x) = 0 x > b diperoleh f’(x) < 0 Fungsi ini mempunyai nilai stasioner belok turun f(b) pada x = b dan titik (b,f(b)) disebut titik belok. b. Pada : x < d diperoleh f’ (x) > 0 x = d diperoleh f’ (x) = d x > d diperoleh f’ (x) > d fungsi ini mempunyai nilai stasioner belok turun f(d) pada x = dan titik (d,f(d)) disebut titik belok Pada titik B atau D sering hanya disingkat nilai stasioner belok. 3. Nilai stasioner di titik E Pada : x < e diperoleh f’(x) < 0 x = e diperoleh f’(x) = 0 x > e diperoleh f’(x) > 0 Fungsi ini mempunyai nilai stasioner minimum f(e) pada x = e dan titik (e,f(e)) disebut titik balik minimum. Contoh : Tentukan titik stasioner dan jenisnya dari fungsi f(x) = x2 + 2x Jawab : f(x) = x2 + 2x f’(x) = 2x + 2 = 2(x + 1) Nilai stasioner didapat dari f’(x) = 0 2(x + 1) = 0 x = -1 f(-1) = (-1)2 + 2(-1) = -1 Jadi diperoleh titik stasioner (-1,-1) x = 1 x 2 ( x + 1 ) f’(x) -1- -1 -1+ - 0 + - 0 + Bentuk grafik Titik balik minimum MENGGAMBAR GRAFIK FUNGSI Untuk menggambar grafik fungsi y = f(x) ada beberapa langkah sebagai berikut : Tentukan titik-titik potong grafik dengan sumbu x ( jika mudah ditentukan ), yaitu diperoleh dari y = 0. Tentukan titik potong dengan sumbu y, yaitu diperoleh dari x = 0. tentukan titik-titik stasioner dan jenisnya. tentukan nilai-nilai y untuk nilai x besar positif dan untuk x yang besar negative. Contoh : Diketahui persamaan y = f(x) = 3x – x3, tentukan : Tentukan titik potong dngan sumbu x dan sumbu y. Nilai stasioner dan titik stasioner. Nilai y untuk x besar positif dan untuk x besar negative. Titik Bantu Jawab: i. Grafik memotong sumbu x, bila y = 0. Y = 0 = 3x – x3 ↔ 0 = x (3 – x2) ↔ 0 = x ( - x ) ( + x) Titik potong sumbu x adalah (0,0), ( ,0), (- ,0) ii. memotong sumbu y, jika x = 0 y = 3x – x3 y = 3.0 - 03 y = 0 titik potong sumbu y adalah (0,0) Syarat stasioner adalah : f’ (x) = 0 f’ (x) = 3 – 3x2 ↔ 3 (1 - x 2) ↔ 3 (1 – x) (1 + x) x = 1, x = -1 untuk x = 1, f(1) = 3(1) – (1)3 = 2 x = -1, f(-1) = 3(-1) – (-1)3 = -2 nilai stasionernya : y = 2 dan y = -2 titik stasioner : (1,2) dan (-1,-2) y = 3x – x2 , untuk nilai x besar maka bilangan 3 dapat diabaikan terhadap x, sehingga y = -x3. Jika x besar positif maka y = besar negative dan jika x besar negative maka y besar positif. Titik Bantu x -2 2 -3 3 … , y 2 -2 18 -18 … DALIL RANTAI UNTUK MENENTUKAN TURUNAN Apabila y = f(g(x)) maka y’ = f’ (g(x)). g’(x) Dari rumus y = f(g(x)) → y’ = f’ (g(x)). g’(x) Jika g(x) = u→ g’ (x) = dan f(g(x)) = f(u) → y = f(u) → = f’(u) = f’(g(x)) Maka f’(x) = f’ (g(x)). g’(x) dapat dinyatakan ke notasi Leibniz menjadi Dan bentuk tersebut dapat dikembangkan jika y = f ( u(v)) maka: Contoh: Dengan notasi Leibniz tentukam yurunan dari : a. y = (x2 – 3x) b. y = cos5 ( ) Jawab: y = (x2 – 3x) missal : u = x2 – 3x → = 2x – 3 y = u → = Sehingga : = .(2x – 3) = y = cos5 ( ) Misal: v = → = -2 u = cos v → = - sin v = - sin ( ) y = u5 → = 5u4 = 5(cos v)4 Sehingga : = 5(cos v)4 . - sin ( ) . -2 = 10 (cos v)4 sin ( ) = 10 (cos( ) )4 sin ( ) BUKU ACUAN ( REFERENSI ) : Wilson simangunsong, 1991, Matematika Dasar, Erlangga, Jakarta. Mursita,Danang, 2006, Matematika Dasar Perguruan Tinggi, Rekayasa Sains, Bandung. Purcell, Edwin J.,1996, Kalkulus dan Geometri Analitis 1, Terbitan IV, (terj . dari bhs.Inggris oleh I Nyoman Susila, dkk), Penerbit Erlangga.